Question

已知的導函數，且，設，
且．
（Ⅰ）討論在區間上的單調性；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

減 ， 和增 ；（2）（3）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）利用 的導函數找到原函數即可研究 的單調性, （Ⅱ）把證明不等式轉化為證明不等式 ,然后通過求導研究函數的值域, （Ⅲ）難點①轉化，②注意運用第（Ⅱ）問產生的新結論.導致③放縮后進行數列求和.
試題解析：（Ⅰ）由 且 得. 定義域為 
 
令 ,得 或  
當 時,由,得 ;由 ,得,或
 在 上單調遞減,在 和 上單調遞增.
當 時, 由,得 ;由 ,得,
 在 上單調遞減,在上單調遞增.
（Ⅱ）設 ,令 ,得, ,得,
 在 上單調遞減,在上單調遞增.
 在 處有極大值,即最大值0, 同理可證 , 即 
（Ⅲ）由（2）知，

又

即當時取等號.
考點：導數運算及運用導數研究函數的性質,數列求和及不等式中的放縮法的運用.