Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動。
（1）求三棱錐E-PAD的體積；
（2）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；
（3）證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

（1）解：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AD，
∴三棱錐E-PAD的體積為。
（2）解：當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行；
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，
∴EF∥PC，
又EF平面PAC，而PC平面PAC，
∴EF∥平面PAC。
（3）證明：∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又AF平面PAB，
∴AF⊥BE，
又PA=AB=1，點F是PB的中點，
∴AF⊥PB，
又∵PB∩BE=B，PB，BE平面PBE，
∴AF⊥平面PBE，
∵PE平面PBE，
∴AF⊥PE。