Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在上有2個零點，求實數的取值范圍.（注）

（2）設，若函數恰有兩個不同的極值點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）將a分離，構造函數，利用導數研究的圖像，得到a的范圍.

（2）由已知，求其導函數，由x1，x2是g（x）的兩個不同極值點，可得a＞0，結合g′（x1）＝0，g′（x2）＝0得到，進一步得到，把問題轉化為證明，將其變形后整體換元構造函數．再利用導數證明＞0得答案．

（1）時，由得，

令

∴時，，

時，，

∴在上是減函數，在上是增函數.

又，，

，

∴，∴h（x）的大致圖像：

利用與的圖像知.

（2）由已知，∴，

因為，是函數的兩個不同極值點（不妨設），

易知（若，則函數沒有或只有一個極值點，與已知矛盾），

且，.所以，.

兩式相減得，

于是要證明，即證明，兩邊同除以，

即證，即證，

即證，

令，.即證不等式，當時恒成立.

設，則 .

設，則，

當時，，

單調遞減，所以，即，所以，

所以在時是減函數.故在處取得最小值.

所以得證.所以.