Question

對于△ABC，有如下命題：
①一定有a=bcosC+ccosB成立．
②若cos2A=cos2B，則△ABC一定為等腰三角形；
③若△ABC的面積為

3

，BC=2，C=60°，則此三角形是正三角形；
則其中正確命題的序號是

①②③

．（把所有正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：△ABC中，利用誘導公式得sinA=sin（B+C），展開后利用正弦定理即可證出a=bcosC+ccosB成立，故①正確；
利用二倍角的余弦公式，由cos2A=cos2B證出cos²A=cos²B，可得A=B，從而得到△ABC是以a、b為腰的等腰三角形，故②正確；對于③，利用三角形的面積公式和余弦定理解三角形算出AB=AC=2，即得△ABC是正三角形．因此三個命題都是真命題．

解答：解：對于①，△ABC中sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosAsinC
結合正弦定理得a=bcosC+ccosB成立，故①正確；
對于②，若cos2A=cos2B，則2cos²A-1=2cos²B-1
所以cos²A=cos²B，結合A、B為三角形的內角可得A=B
則△ABC是以a、b為腰的等腰三角形，故②正確；
對于③，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosC=4，
∴結合C=60°得AB²+AC²-AB•AC=4
又∵△ABC的面積為

3

，∴

1

2

AB•ACsin60°=

3

，得AB•AC=4
因此AB²+AC²=8，聯解可得AB=AC=2，即得△ABC是正三角形；
綜上所述，三個命題都是真命題
故答案為：①②③

點評：本題給出三角形滿足的條件，判斷三個命題的真假．著重考查了正余弦定理解三角形、三角恒等變換和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．