Question

（本小題滿分14分）

設函數Z），曲線在點處的切線方程為。

（1）求的解析式；

（2）證明：函數的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（3）證明：曲線上任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）證明見解析。

（3）證明見解析。

【解析】（1）解，于，

解得，或，因為Z），故。

（2）證明：已知函數都是奇函數，所以函數也是奇函數，其圖象是以原點中心的中心對稱圖形。而。

可知，函數的圖象按向量a =（1,1）平移，即到函數的圖象，故函數的圖象是以點（1,1）為中心的中心對稱圖形。

（3）證明：在曲線任取一點，由知，過此點的切線方程為。令，得，切線與直線的交點為；

令，得，切線與直線的交點為；

直線與直線的交點為（1,1），從而所圍三角形的面積為

所以