Question

【題目】已知橢圓，點為半圓上一動點，若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.

（1）求證：；

（2）當時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）分兩種情況討論：①兩切線、中有一條切線斜率不存在時，求出兩切線的方程，驗證結論成立；②兩切線、的斜率都存在，可設切線的方程為，將該直線的方程與橢圓的方程聯立，由可得出關于的二次方程，利用韋達定理得出兩切線的斜率之積為，進而可得出結論；

（2）求出點、的坐標，利用兩點間的距離公式結合韋達定理得出，換元，可得出，利用二次函數的基本性質可求得的取值范圍.

（1）由于點在半圓上，則.

①當兩切線、中有一條切線斜率不存在時，可求得兩切線方程為，或，，此時；

②當兩切線、的斜率都存在時，設切線的方程為（、的斜率分別為、），

，

，，.

綜上所述，；

（2）根據題意得、，

，

令，則，

所以，當時，，當時，.

因此，的取值范圍是.