Question

閱讀不等式2^x+1＞3^x的解法：
設，函數和在R內都單調遞減；則f（x）在（-∞，+∞）內單調遞減．
∵f（1）=1，∴．
∵3^x＞0，∴；
（1）試利用上面的方法解不等式2^x+3^x≥5^x；
（2）證明：3^x+4^x=5^x有且僅有一個實數解x=2．

Answer 1

解：（1）設，函數和在R內都單調遞減；則g（x）在（-∞，+∞）內單調遞減，
∵g（1）=1，；
∴不等式2^x+3^x≥5^x的解集為：{x|x≤1}；
（2）令，函數和在R內都單調遞減；則h（x在（-∞，+∞）內單調遞減，
∵h（2）=2，；
∴有且只有一個實數x=2使得，即3^x+4^x=5^x有且僅有一個實數解x=2．
分析：（1）可構造函數，分析g（x）在（-∞，+∞）內單調性，從而可求得不等式2^x+3^x≥5^x的解集；
（2）構造函數，利用其在R上的單調性即可證明3^x+4^x=5^x有且僅有一個實數解x=2．
點評：本題考查函數單調性的性質，難點在于合理構造函數，并靈活應用，屬于中檔題．