Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）當時，求證：.

Answer 1

【答案】(1)f(x)的單調遞增區間為(－∞，0)，單調遞減區間為(0，＋∞);(2)見解析.

【解析】分析：（1）當a=時，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得函數f（x）的單調區間；

（2）構造函數F（x）=x﹣f（x）=ex﹣（a﹣1）x，利用導數證明F（x）≥0即可．

詳解：(1)當a=1時，f(x)＝x－ex.

令f′(x)＝1－ex＝0，得x＝0.

當x<0時，f′(x)>0；當x>0時，f′(x)<0.

∴函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，0)，單調遞減區間為(0，＋∞)．

(2)證明：令F(x)＝x－f(x)＝ex－(a－1)x.

①當a＝1時，F(x)＝ex>0，∴f(x)≤x成立；

②當1<a≤1＋e時，F′(x)＝ex－(a－1)＝ex－eln(a－1)，

當x<ln(a－1)時，F′(x)<0；當x>ln(a－1)時，F′(x)>0，

∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上單調遞減，在(ln(a－1)，＋∞)上單調遞增，

∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，

∵1<a≤1＋e，∴a－1>0，1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，

∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．

綜上，當1≤a≤1＋e時，有f(x)≤x.