Question

【題目】如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點．求證：

(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA；

(3)平面DEA⊥平面ECA.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）見證明；（3）見證明；

【解析】

(1)取的中點，連接，證明，即可得結果；(2)取的中點，連接，可得，由平面，可得，又，從而可得平面，進而可得結果；(3)利用三角形中位線定理證明，可得四邊形為平行四邊形，，由(2)知平面，則 平面，從而可得結果.

(1)取EC的中點F，連接DF.∵FCBD，∴四邊形BDFC為平行四邊形．∴DF∥BC，又EC⊥BC，∴DF⊥EC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

∵EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴ED＝DA.

(2)取CA的中點N，連接MN，BN，則MNEC，

∴MN∥BD，∴點N在平面BDM內．

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.

(3)∵BDEC，MNEC，∴MNBD.

∴四邊形MNBD為平行四邊形，∴DM∥BN，

由(2)知BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.

又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.