Question

已知(1+2x+3x2)(x+

1

x2

)n的展開式中沒有常數項，n∈N^*且2≤n≤8，則n的值共有（　　）

A．1個

B．2個

C．4個

D．0個

Answer 1

分析：先將問題轉化成二項式的展開式中沒有常數項，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為0得常數項，轉化成方程無解．

解答：解：∵已知(1+2x+3x2)(x+

1

x2

)n的展開式中沒有常數項，n∈N^*且2≤n≤8，∴(x+

1

x2

)n的展開式中不含常數項，不含x^-1項，不含x^-2項．
而 (x+

1

x2

)n的展開式通項公式為 T_r+1=

C

r n

 x^n-r x^-2r=

C

r n

 x^n-3r．
由題意可得，當n∈N^*且2≤n≤8，方程組

n-3r=0 n-3r=-1 n-3r=-2

無解，經檢驗，n的值不存在，
故選D．

點評：本題考查數學中的等價轉化的能力和利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項，屬于中檔題．