Question

（2012•湖南模擬）已知函數f(x)=

1

2

x2+x-(x+1)ln(x+1)
（1）判斷f（x）的單調性；
（2）記φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函數φ（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：φ′(

x1+x2

2

)＞0．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域，確定導數的正負，可得f（x）的單調性；
（2）利用函數φ（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），兩式相減，求出φ（x）=f′（x-1）-k（x-1）的導函數，確定單調性，即可證得結論．

解答：（1）解：函數定義域為（-1，+∞），f'（x）=x-ln（x+1），
記g（x）=x-ln（x+1）g′(x)=1-

1

x+1

=

x

x+1

，（3分）
當x∈（-1，0）時，g'（x）＜0，g（x）在（-1，0）遞減，
當x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，
∴x∈（-1，+∞），g（x）≥0，
即當x∈（-1，+∞），f'（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）遞增 （6分）
（2）證明：由（1）可知φ（x）=x-1-lnx-k（x-1），
由題意：x₁-1-lnx₁-k（x₁-1）=0，x₂-1-lnx₂-k（x₂-1）=0，
兩式相減得：x1-x2-ln

x1

x2

=k(x1-x2)，即有k=1-

1

x1-x2

ln

x1

x2

，
又因為φ′(x)=1-

1

x

-k，所以φ′(

x1+x2

2

)=1-

2

x1+x2

-k=

1

x1-x2

ln

x1

x2

-

2

x1+x2

（9分）
現考察ln

x1

x2

-

2(x1-x2)

x1+x2

=ln

x1

x2

-

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，
令

x1

x2

=t(0＜t＜1)，設γ(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

(0＜t＜1)，則γ′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
所以γ（t）在t∈（0，1）遞增，所以γ（t）＜γ（1）=0，ln

x1

x2

-

2(x1-x2)

x1+x2

＜0，
又因為x₁-x₂＜0，所以φ′(

x1+x2

2

)=

1

x1-x2

ln

x1

x2

-

2

x1+x2

＞0（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度．