Question

（2013•烏魯木齊一模）在正四棱錐V-ABCD中，P，Q分別為棱VB，VD的中點，點 M 在邊 BC 上，且 BM：BC=1：3，AB=2

3

，VA=6．
（I ）求證CQ丄AP；
（II）求二面角B-AP-M的余弦值．

Answer 1

分析：（I）設正方形ABCD的中心為O，N為AB的中點，R為BC的中點，分別以ON、OR、OV所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，分別算出V、A、B、C、D、M、P、Q各點的坐標，從而得到向量

AP

和

CQ

的坐標，通過計算得到

AP

•

CQ

=0，從而得到

AP

⊥

CQ

，即可證出CQ丄AP；
（II）由（I）所建立的坐標系，算出

AB

=（0，2

3

，0），

AM

=（-

2 3

3

，2

3

，0），利用垂直向量數量積為0的方法算出平面BAP的法向量為

n1

=（

10

，0，1），同理得到平面APM的法向量為

n2

=（3，1，0），最后運用空間向量的夾角公式加以計算，得到

n1

、

n2

的夾角余弦，即為二面角B-AP-M的余弦值．

解答：解：設正方形ABCD的中心為O，N為AB的中點，R為BC的中點，分別以ON、OR、OV所在直線為x軸、y軸、z軸，
如圖建立空間直角坐標系，
在Rt△VOB中，可得OV=

30

，
則V（0，0，

30

），A（

3

，-

3

，0），B（

3

，

3

，0），C（-

3

，

3

，0）
D（-

3

，-

3

，0），M（

3

3

，

3

，0），P（

3

2

，

3

2

，

30

2

），
Q（-

3

2

，-

3

2

，

30

2

）．
于是

AP

=（-

3

2

，

3 3

2

，

30

2

），

AB

=（0，2

3

，0），

AM

=（-

2 3

3

，2

3

，0），

CQ

=（

3

2

，-

3 3

2

，

30

2

）．
（Ⅰ）∵

AP

•

CQ

=-

3

2

×

3

2

+

3 3

2

×（-

3 3

2

）+

30

2

×

30

2

=0，
∴

AP

⊥

CQ

，即CQ丄AP；                              …（6分）
（Ⅱ）設平面BAP的法向量為

n1

=（a，b，c），
由

n1 • AP =0 n1 • AB =0

，得

a-3b- 10 c=0 b=0

，取a=

10

，得

n1

=（

10

，0，1），
同理可得平面APM的法向量為

n2

=（3，1，0），
設二面角B-AP-M的平面角為θ，則cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3 11

11

．        …（12分）

點評：本題給出正四棱錐，求證兩條直線異面垂直并求二面角的余弦之值，著重考查了用空間向量證明線線垂直和求平面與平面的所成角等知識，屬于中檔題．