Question

已知函數f（x）=x³+ax²-2x+5在上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，且函數f（x）的導數記為f'（x），則下列結論正確的是    ．（填序號）
①是方程f'（x）=0的根；②1是方程f'（x）=0的根；③有極小值f（1）；④有極大值； ⑤．

Answer 1

【答案】分析：對函數求導可得，f′（x）=3x²+2ax-2，由題意可得f′（1）=0，則可得a=-可判斷⑤
，f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）可判斷①②
由函數f（x）=x³+ax²-2x+5在上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，可判斷③
由函數f（x）=x³+ax²-2x+5在上單調遞減，在（1，+∞），上單調遞增可判斷④
解答：解：∵f′（x）=3x²+2ax-2
由函數f（x）=x³+ax²-2x+5在上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增
可知f′（1）=0即2a+1=0
∴a=-
∴，f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
①x=-是方程的根，正確
②x=1是方程的根，正確
③由函數f（x）=x³+ax²-2x+5在上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，可知x=1是函數的極小值，③正確
④令f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）＞0，可得
f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）＜0可得，
則函數f（x）=x³+ax²-2x+5在上單調遞減，在（1，+∞），上單調遞增，故為函數的極大值，④正確
⑤正確
故答案為：①②③④⑤
點評：本題主要考查了利用函數的導數求解函數的單調區間、函數的極大與及小值，及函數的極值與導數對應的方程的根的關系的應用．