Question

據中新網2009年4月9日電，日本鹿兒島縣櫻島昭和火山口當地時間9日下午3點31分發生中等規模爆發性噴火，鹿兒島市及周邊飛揚了大量火山灰．火山噴發停止后，為測量的需要距離噴口中心50米內的圓環面為第1區、50米至100米的圓環面為第2區、100米至150米的圓環面為第3區、…、第50（n-1）米至50n米的圓環面為第n區，…，現測得第1區火山灰平均每平方米為1噸、第2區每平方米的平均重量較第1區減少2%、第3區較第2區又減少2%，…，以此類推．
（1）若第n區每平方米的重量為a_n千克，請寫出a_n的表達式；
（2）第幾區內的火山灰總重量最大？
（3）該火山這次噴發出的火山灰的總重量為多少萬噸（π 取3，結果精確到萬噸）？

Answer 1

分析：（1）由題意可知a_n=1000（1-2%）^n-1=1000（1-0.02）^n-1（n∈N^*）；
（2）設第n區內的面積為b_nm²，第n區火山灰總重量C_n=a_nb_n最大，則

Cn≥Cn-1′ Cn≤Cn+1

，解之即可求出第幾區內的火山灰總重量最大；
（3）設該火山前n區這次噴發出的火山灰的總重量為S萬噸，再由錯位相減可知該火山前n區這次噴發出的火山灰的總重量，最后利用極限可求出所求．

解答：解（1）由題意可知a_n=1000（1-2%）^n-1=1000（1-0.02）^n-1（n∈N^*）．
（2）設第n區內的面積為b_n平方米，
則 b_n=π50²n²-π50²（n-1）²=2500π（2n-1）．
則第n區內火山灰的總重量為C_n=a_nb_n=2500π（2n-1）（1-2%）^n-1（噸）=

π

4

(2n-1)(0.98)n-1（萬噸）
設第n區火山灰總重量最大，則

π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n-3)(0.98)n-2 π 4 (2n-1)(0.98)n-1≥ π 4 (2n+1)(0.98)n

解得49

1

2

≤n≤50

1

2

，∴n=50．
即得第50區火山灰的總重量最大．
（Ⅲ）設火山噴發的火山區灰總重量為S萬噸，
則S=C₁+C₂+…+C_n+…，
設S_n=C₁+C₂+…+C_n，q=1-0.02，
則Sn=

π

4

+

3π

4

q+

5π

4

q2+…+

(2n-1)π

4

qn-1①
∴qSn=

π

4

q+

3π

4

q2+

5π

4

q3+…+

(2n-1)π

4

qn②
①-②得(1-q)Sn=

π

4

+

π

2

(q+q2+…+qn-1)-

(2n-1)π

4

qn
∴Sn=

π

4(1-q)

+

πq(1-qn-1)

2(1-q)2

-

(2n-1)π

4(1-q)

qn
∵0＜q＜1，∴S=

lim

n→∞

Sn=

π

4(1-q)

+

πq

2(1-q)2

=

π

4×0.02

+

π×0.98

2×(0.02)2

≈3712（萬噸）
因此該火山這次噴發出的火山灰的總重量約為3712萬噸．

點評：本題主要考查數列性質的綜合運用，以及利用錯位相消法求和，解題時要認真審題，同時考查了計算能力，屬于中檔題．