Question

如圖，A，B是焦點為F的拋物線y²=4x上的兩動點，線段AB的中點M在定直線x=t（t＞0）上．
（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值；
（Ⅱ）求|AB|的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）y²=4x的焦點坐標是F（1，0），準線方程是x=-1
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴|FA|+|FB|=x₁+x₂+2
∵線段AB的中點M在定直線x=t （t＞0）上
∴x₁+x₂+=2t，
∴|FA|+|FB|=2t+2；
（Ⅱ）∵|AF|+|BF|≥|AB|，當A，F，B三點成一線時取“=”
∴|AB|的最大值是2t+2．
分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義及線段AB的中點M在定直線x=t （t＞0）上，可求|FA|+|FB|的值；
（Ⅱ）利用|AF|+|BF|≥|AB|，當A，F，B三點成一線時取“=”，可得結論．
點評：本題主要考查拋物線幾何性質，直線與拋物線的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力