Question

近幾年來，我國南部地區經常出現干旱現象，嚴重影響了農作物生長，為了抗旱需要進行人工降雨，某地區決定在未來5天實施人工降雨，據氣象預報，該地區未來5天每天下午1點到3點降雨的概率：前3天均為50%，后2天均為80%，若當天下雨則不實施人工降雨，否則，當天實施人工降雨．
（Ⅰ）求至少有1天需要人工降雨的概率；
（Ⅱ）求不需要人工降雨的天數x的分布列和期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）先求出5天全不需要人工降雨的概率，再由間接法能求出至少有1天需要人工降雨的概率．
（Ⅱ）x的取值是0，1，2，3，4，5，分別求出P（x=4），P（x=3），p（x=2），P（x=1），P（x=0）的值，由此能求出不需要人工降雨的天數x分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）5天全不需要人工降雨的概率是：
p₁=（

1

2

）³（

4

5

）²=

2

25

，…（2分）
故至少有1天需要人工降雨的概率是1-p₁=1-

2

25

=

23

25

．…（4分）
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，
P（x=5）=（

1

2

）³（

4

5

）²=

2

25

，
P（x=4）=（

1

2

）³C

1 2

•

4

5

×

1

5

+C

1

3

•（

1

2

）³（

4

5

）²=

7

25

，…（5分）
P（x=3）=

C

2 3

（

1

2

）³（

4

5

）²+C

1 3

（

1

2

）³C

1 2

（

1

5

）（

4

5

）+（

1

2

）³（

1

5

）²=

73

200

，…（6分）
2天不需要人工降雨的概率是：
P（x=2）=C

2 3

（

1

2

）³（

1

5

）²+C

1 3

（

1

2

）³C

1 2

（

1

5

）×（

4

5

）+（

1

2

）³×（

4

5

）²=

43

200

，…（7分）
1天不需要人工降雨的概率是：P（x=1）=

11

200

，…（8分）
0天不需要人工降雨的概率是：P（x=0）=（

1

2

）³（

1

5

）²=

1

200

，…（9分）
不需要人工降雨的天數x分布列是：…（10分）

x	0	1	2	3	4	5
P	1 200	11 200	43 200	73 200	7 25	2 25

不需要人工降雨的天數x的期望是：Ex=0×

1

200

+1×

11

200

+2×

43

200

+3×

73

200

+4×

7

25

+5×

2

25

=3.1．…（12分）

點評：本題考查概率、隨機變量分布列以及數學期望等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的能力，是中檔題．