Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求函數(shù)在上的最大值；

（3）在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）a≥0；（2）(－7，－3)∪(－3，＋∞).

【解析】【試題分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)＝3x2＋2ax－3，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）先借助題設(shè)極值點(diǎn)是建立方程求出a＝4，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出其最大值；（3）先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程x3＋4x2－3x＝bx恰有3個(gè)不等實(shí)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程x2＋4x－(3＋b)＝0有兩個(gè)非零不等實(shí)根，然后運(yùn)用二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系及判別式建立不等式組，通過(guò)解不等式組使得問(wèn)題獲解：

(1)f′(x)＝3x2＋2ax－3，

∵f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，

∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0.

∴－≤1且f′(1)＝2a≥0.

∴a≥0.

(2)由題意知f′＝0，即＋－3＝0，

∴a＝4.

∴f(x)＝x3＋4x2－3x.

令f′(x)＝3x2＋8x－3＝0得x＝或x＝－3.

∵f(－4)＝12，f(－3)＝18，f＝－，f(1)＝2，

∴f(x)在[－a,1]上的最大值是f(－3)＝18.

(3)若函數(shù)g(x)＝bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，即方程x3＋4x2－3x＝bx恰有3個(gè)不等實(shí)根．

∵x＝0是其中一個(gè)根，

∴方程x2＋4x－(3＋b)＝0有兩個(gè)非零不等實(shí)根．

∴

∴b>－7且b≠－3.

∴滿(mǎn)足條件的b存在，其取值范圍是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．