Question

【題目】已知拋物線，過點的直線交拋物線于、兩點，設為坐標原點，點.

（1）求的值；

（2）若，，的面積成等比數列，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線的方程為或

【解析】

（1）根據直線的傾斜角與角的關系，即可用直線的斜率以及兩角和與差的正切公式求出的值.

（2）將條件“的面積成等比數列”等價轉化為“成等比數列”，再將直線的方程代入拋物線方程，利用韋達定理得到的值，結合條件即可建立關于直線的斜率的方程，從而求出斜率，得到直線的方程.

解：（1）由題意直線，斜率均存在，且，.

∴ .

故.

（2）由（1）知點為拋物線的焦點

據題意，直線的斜率存在且不為0，故可設直線的方程為.

由 .

設、，則有，，

.

若，，的面積成等比數列，則，，成等比數列

∴，即：.

∴

∴ ，則.

解得，或，均滿足.

故直線的方程為或.