Question

已知點C為y²=2px（p＞0）的準線與x軸的交點，點F為焦點，點A、B為拋物線上兩個點，若

FA

+

FB

+2

FC

=

0，

則向量

FA

與

FB

的夾角為

2π

3

．

Answer 1

分析：設出點A，B的坐標，利用點A、B是拋物線上的兩個點，

FA

+

FB

+2

FC

=

0，

可求

FA

，

FB

的坐標，再利用向量的夾角公式，即可得出結論．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），拋物線y²=2px（p＞0）的準線與x軸的交點C（-

p

2

，0），焦點F（

p

2

，0）
∵

FA

+

FB

+2

FC

=

0

∴（x₁-

p

2

，y₁）+（x₂-

p

2

，y₂）+（-2p，0）=（0，0）
∴x₁+x₂=3p，y₁+y₂=0
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）
∴y₁²=y₂²=3p²，x₁=x₂=

3

2

p
∴

FA

=（p，

3

p），

FB

=（p，-

3

p）
設向量

FA

，

FB

的夾角為α，則cosα=

FA • FB

| FA |•| FB |

=

p2-3p 2

4p2

=-

1

2

∵α∈[0，π]
∴α=

2π

3

故答案為：

2π

3

．

點評：本題考查拋物線的簡單性質，向量知識的運用，考查向量的夾角公式，解題的關鍵是確定向量的坐標．