Question

已知數列{an}滿足a1＝2，對于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)a＋anan＋1－na＝0，又知數列{bn}:b1＝2n－1＋1
(1)求數列{an}的通項an以及它的前n項和Sn；
(2)求數列{bn}的前n項和Tn；
(3)猜想Sn和Tn的大小關系，并說明理由.

Answer 1

（1）見解析（2）（3）見解析

（Ⅰ）∵
∴。
∴
∴，∴。                                                             
即。
∴
。
∴，
∴又，∴。                                                                        
∴
。                                                          
（Ⅱ）∵，
∴

。                                                                                
（Ⅲ）
當時，，∴；
當時，，∴；
當時，，∴；
當時，，∴；
當時，，∴；
當時，，∴。                          
猜想：當時，。                                                             
即。亦即。
下面用數學歸納法證明：
當時，前面已驗證成立；                                          
假設時，成立，那么當時，

。
∴當時，也成立。                    
由以上、可知，當時，有；當時，；
當時，。