Question

已知向量

a

=(

3

 ， cos2ωx) ，  

b

=(sin2ωx ，  1) ，  (ω＞0)，令f(x)=

a

•

b

，且f（x）的周期為π．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]時f（x）+m≤3，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據向量數量積坐標運算公式，結合輔助角公式化簡整理可得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），用三角函數周期公式即可得到ω=1，從而得到函數f（x）的解析式；
（II）利用正弦函數的圖象與性質，得到當x∈[0，

π

2

]時f（x）+m的最大值為2+m，結合不等式恒成立的等價條件，即可解出實數m的取值范圍．

解答：解：（I）∵向量

a

=（

3

，cos2ωx），

b

=（sin2ωx，1），（ω＞0）
∴f(x)=

a

•

b

=

3

sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+

π

6

）
∵函數的周期T=

2π

2ω

=π，∴ω=1
即函數f（x）的解析式是f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（II）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴-

1

2

≤sin（2ωx+

π

6

）≤1
因此，若x∈[0，

π

2

]時，f（x）∈[-1，2]
∴f（x）+m≤3恒成立，即2+m≤3，解之得m≤1
即實數m的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題給出向量的坐標式，求函數的表達式并討論了函數恒成立的問題，著重考查了向量的數量積、三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．