Question

已知函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），g（x）=2x²-4x-16，且|f（x）|≤|g（x）|對x∈R恒成立．
（1）求a、b的值；
（2）若對x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，求實數m的取值范圍．
（3）記h（x）=-

1

2

f（x）-4，那么當k≥

1

2

時，是否存在區間[m，n]（m＜n），使得函數h（x）在區間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區間[m，n]；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=0，解得x=-2或4，要使|f（x）|≤|g（x）|對x∈R恒成立，必有

f(-2)=0 f(4)=0

，解出即可；
（2）對x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立?m≤

x2-4x+7

x-1

對x＞2恒成立，利用基本不等式求得右邊的最小值即可．
（3）利用二次函數的單調性，對k分類討論即可得出．

解答：解：（1）由g（x）=0，解得x=-2或4，
∵|f（x）|≤|g（x）|對x∈R恒成立，
∴必有

f(-2)=4-2a+b=0 f(4)=16+4a+b=0

，解得

a=-2 b=-8

，
此時滿足|f（x）|≤|g（x）|．
∴a=-2，b=-8．
（2）由（1）可知：f（x）=x²-2x-8，
∵對x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴m≤

x2-4x+7

x-1

對x＞2恒成立．
記u（x）=

x2-4x+7

x-1

=(x-1)+

4

x-1

-2≥2

(x-1)× 4 x-1

-2=2，當且僅當x=3時取等號．
∴m≤[u（x）]_min=2．
∴實數m的取值范圍是（-∞，2]．
（3）∵h(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，∴[km，kn]⊆(-∞，

1

2

]．
∴kn≤

1

2

，
又∵k≥

1

2

，∴n≤

1

2k

≤1．
∴[m，n]⊆（-∞，1]，
∴h（x）在[m，n]上是增函數．
∴

h(m)=km h(n)=kn

，即

- 1 2 m2+m=km - 1 2 n2+n=kn

．
解得

m=0或2-2k n=0或2-2k

．
又∵k≥

1

2

，m＜n，
因此：①當

1

2

≤k＜1時，[m，n]=[0，2-2k]；
②當k＞1時，[m，n]=[2-2k，0]；
③當k=1時，[m，n]不存在．

點評：把恒成立問題正確等價轉化，熟練掌握二次函數的單調性、基本不等式的性質、分類討論的思想方法是解題的關鍵．