Question

（本小題滿分14分）已知函數.
（1）若a>0,試判斷在定義域內的單調性;
（2）若在上的最小值為,求a的值;
（3）若在上恒成立,求a的取值范圍

 

Answer 1

（1）在上是單調遞增函數；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由題意知的定義域為,求導數知, 在上是單調遞增函數；

（2）討論①；②；③等幾種情況，通過研究函數的單調性、確定最小值，建立方程求解.

（3）由已知得到，
令.
通過討論函數的單調性明確 得解.

試題解析：（1）由題意知的定義域為,且,

∴, 故在上是單調遞增函數 4分

（2）由（1）可知, .
①若,則,即在上恒成立, 此時在上為增函數,
∴ (舍去) 6分

②若,則,即在上恒成立, 此時在上為減函數,
∴ (舍去) 8分

③若令得
當時, ∴在上為減函數;
當時, ,∴在上為增函數,
∴.綜上所述, 10分

（3）∵.又，
令.
∵時, 在上是減函數.
∴,即在上也是減函數.
,∴當時, 在上恒成立 14分

考點：1.應用導數研究函數的單調性、極值、最值；2.轉化與化歸思想.