Question

已知函數y=f(x)的定義域為R,并且滿足f(2+x)=f(2-x).?

(1)證明函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱.

(2)若f(x)又是偶函數,且x∈［0,2］時,f(x)=2x-1,求x∈［-4,0］時f(x)表達式.

Answer 1

解析:(1)證明:設P(x₀,y₀)是函數y=f(x)圖象上的一點，則有y₀=f(x₀).點P關于直線x=2的對稱點P′的坐標應為(4-x₀,y₀).?

∵f(4-x₀)=f［2+(2-x₀)］=f［2-(2-x₀)］=f(x₀),?

∴點P′也在函數y=f(x)的圖象上.?

∴函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱.

(2)解:由f(x)=2x-1,x∈［0，2］及f(x)為偶函數，可知f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈［-2，0］；當x∈［2，4］時，由f(x)圖象關于x=2對稱，用4-x代入f(x)=2x-1,可得f(4-x)?=f(x)=2(4-x)-1=-2x+7,其中x∈［2，4］，再由f(x)為偶函數，得f(x)=2x+7,x∈［-4，-2］，所以所求f(x)的表達式為分段函數:?