Question

若方程ax²-2x+3=0在（0，2）內恰有一解，則實數a的取值范圍為

{a|a＜

1

4

}

．

Answer 1

分析：令f（x）=ax²-2x+3，則有題意可得函數f（x）在（0，2）內恰有一個零點，分a=0和a≠0兩種情況分別求出a的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：令f（x）=ax²-2x+3，則有題意可得函數f（x）在（0，2）內恰有一個零點．
①當a=0時，f（x）=-2x+3 有唯一的零點x=

3

2

，滿足條件．
②當a≠0時，由二次函數f（x）=ax²-2x+3在（0，2）內恰有一個零點，
（1）若判別式大于零時，由

△ = 4-12a＞0 f(0)•f(2) = 3(4a-1)＜ 0

，解得a＜

1

4

．
（2）若判別式等于零時，應有

△ = 4-12a=0 f(0)•f(2) = 3(4a-1)＞0

，解得 a=

1

3

．
但把 a=

1

3

代入原方程求得方程有唯一解為x=3，不在（0，2）內，故a=

1

3

不滿足條件．
綜上可得，實數a的取值范圍為{a|a＜

1

4

}．
故答案為 {a|a＜

1

4

}．

點評：本題主要考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．