Question

若0＜x＜

π

2

，則2x與3sin x的大小關(guān)系（　　）

• A、2x＞3sin x
• B、2x＜3sin x
• C、2x=3sin x
• D、與x的取值有關(guān)

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)線

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，令f（x）=2x-3sinx，用導(dǎo)數(shù)法判斷即可．

解答： 解：設(shè)g（x）=2x-3sinx，則g′（x）=2-3cosx，
當(dāng)0＜x＜arccos

2

3

 時(shí)，g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，g（x）＜g（0）=0，∴2x＜3sinx；
當(dāng)arccos

2

3

＜x＜

π

2

時(shí)，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)，但g（arccos

2

3

）＜0，g（

π

2

）＞0，
∴在區(qū)間[arccos

2

3

，

π

2

）有且僅有一點(diǎn)θ使g（θ）=0；
當(dāng)arccos

2

3

≤x＜θ時(shí)，g（x）＜g（θ）=0，2x＜3sinx；
當(dāng)θ＜x＜

π

2

時(shí)，g（x）＞g（θ）=0，2x＞3sinx；
∴當(dāng) 0＜x＜θ 時(shí)，2x＜3sinx；
當(dāng) x=θ 時(shí)，2x=3sinx；
當(dāng) θ＜x＜

π

2

時(shí)，2x＞3sinx．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用函數(shù)的單調(diào)性研究不等式的問(wèn)題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是中檔題．