Question

已知函數
（1）當，且時，求證： 
（2）是否存在實數，使得函數的定義域、值域都是？若存在，則求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.

試題分析：（1）分時和時，根據絕對值的性質，可根據絕對值的定義，可將函數的解析式化為分段函數的形式，進而分析函數的單調性，結合函數的單調性證得結論
（2）根據（1）中結論，分①當、時，②當、時，③當、時，三種情況討論、的存在性，最后綜合討論結果，可得答案．
試題解析：（1），，
所以在（0，1）內遞減，在（1，+）內遞增.
由，且，即.

（2）不存在滿足條件的實數.

①當時，在（0，1）內遞減，
，所以不存在.
②當時，在（1，+）內遞增，
是方程的根.
而方程無實根.所以不存在.
③當時，在（a，1）內遞減，在（1，b）內遞增，所以，
由題意知，所以不存在.