Question

在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰三角形，∠BAC=

π

2

且AA₁=2AB，D是CC₁上的一點，設C₁D=λC₁C，若直線A₁D與側面BCC₁B₁所成的角為30°，則λ=

 

．

Answer 1

分析：過A₁作垂線A₁E交B₁C₁與E，易證∠A₁DE為直線A₁D與側面BCC₁B₁所成的角，在三角形A₁DE中求出A₁D，再在三角形A₁C₁D中求出C₁D的長，即可求出λ的值．

解答：解：如圖，過A₁作垂線A₁E交B₁C₁與E，
易證∠A₁DE=30°
設AB=AC=1，
則A₁E=

2

2

，A₁D=

2

，而A₁C₁=1，
則C₁D=1=

1

2

C₁C=λC₁C
∴λ=

1

2

，
故答案為

1

2

．

點評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．