Question

在平面直角坐標系xOy中，設直線y=

3

x+2m和圓x²+y²=n²相切，其中m，n∈N，0＜|m-n|≤1，若函數f（x）=m^x+1-n的零點x₀∈（k，k+1）k∈Z，則k=

 

．

Answer 1

分析：根據直線和圓相切知圓心到直線的距離等于半徑，得到關于m和n的一個關系，又有m，n∈N，0＜|m-n|≤1，得到m和n的值，代入所給的函數式，那么本題就變化為求一個函數的零點的范圍，兩邊取對數，寫出x的表示式，根據對數的圖象得到范圍．

解答：解：∵直線y=

3

x+2m和圓x²+y²=n²相切，
∴圓心到直線的距離是半徑n，
∴

2m

2

=n
∴2^m=2n，
∵m，n∈N，0＜|m-n|≤1，
∴m=3，n=4，
∴函數f（x）=m^x+1-n=3^x+1-4，
要求函數的零點所在的區間，
令f（x）=0，
即3^x+1-4=0，
∴3^x+1=4，
∴x+1=log₃⁴，
∴x=log₃⁴-1
∵log₃⁴∈（1，2）
∴x∈（0，1）
∴k=0
故答案為：0

點評：本題考查直線和圓的位置關系，考查函數的零點，解決本題還要有歸納整理的能力，本題是一個綜合題，運算量不大但是解題時技巧性比較強，是一個好題．