Question

【題目】已知命題p：關于x的方程x2﹣ax+a+3=0有實數根，命題q：m﹣1≤a≤m+1．
（Ⅰ） 若￢p是真命題，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ） 若p是q的必要非充分條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：法一：（Ⅰ） 當命題p是真命題時，滿足△≥0則a2﹣4（a+3）≥0，
解得 a≤﹣2或a≥6；
∵￢p是真命題，則p是假命題
即﹣2＜a＜6，
∴實數a的取值范圍是（﹣2，6）．
（Ⅱ）∵p是q的必要非充分條件，
則[m﹣1，m+1]（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞，
即m+1≤﹣2或m﹣1≥6，
解得 m≤﹣3或m≥7，
∴實數m的取值范圍是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．
法二：（Ⅰ） 命題p：關于x的方程x2﹣ax+a+3=0沒有實數根
∵￢p是真命題，則滿足△＜0
即 a2﹣4（a+3）＜0
解得﹣2＜a＜6
∴實數a的取值范圍是（﹣2，6）．
（Ⅱ） 由 （Ⅰ）可得 當命題p是真命題時，
實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞，
∵p是q的必要非充分條件，
則[m﹣1，m+1]是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）的真子集
即 m+1≤﹣2或m﹣1≥6
解得 m≤﹣3或m≥7，
∴實數m的取值范圍是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．
【解析】（Ⅰ）根據命題的否定是真命題，進行轉化求解即可．（Ⅱ）根據充分條件和必要條件的定義和關系建立不等式關系進行求解即可．