Question

如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=24，AD=25，點(diǎn)E、F分別在邊AB與BC上．現(xiàn)將紙片的右下角沿EF翻折，使得頂點(diǎn)B翻折后的新位置B₁恰好落在邊AD上．設(shè)

BE

EF

=t，EF=l，l關(guān)于t的函數(shù)為l=f（t），試求：
（1）函數(shù)f（t）的解析式；
（2）函數(shù)f（t）的定義域．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)∠BFE=θ，則t=sinθ．根據(jù)邊、角之間的關(guān)系得到：lsinθ+lsinθcos2θ=24，由此解得l=

24

sinθ+sinθcos2θ

=

24

sinθ(1+cos2θ)

=

24

sinθ(2-2sin2θ)

=

12

sinθ(1-sin2θ)

．即可；
（2）從兩個方面考慮：一方面，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，θ取最大值為

π

4

，t=sinθ取最大值為

2

2

；另一方面，當(dāng)點(diǎn)E向右運(yùn)動時，BE長度變小，為保持點(diǎn)B₁在邊AD上，則點(diǎn)F要向上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，sinθ取得最小值．從而求得函數(shù)f（t）的定義域．

解答：解：（1）設(shè)∠BFE=θ，則t=sinθ．
由于∠B₁FE=∠BFE=θ，∠FB1E=∠FBE=

π

2

，
則∠AB1E=π-2θ-

π

2

=

π

2

-2θ，即∠AEB₁=2θ．
而BE=lsinθ，AE=B₁Ecos2θ=lsinθcos2θ，AE+BE=AB=24，
所以lsinθ+lsinθcos2θ=24，
解得l=

24

sinθ+sinθcos2θ

=

24

sinθ(1+cos2θ)

=

24

sinθ(2-2sin2θ)

=

12

sinθ(1-sin2θ)

．
故l=f(t)=

12

t-t3

．
（2）一方面，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，θ取最大值為

π

4

，t=sinθ取最大值為

2

2

．．（10分）
另一方面，當(dāng)點(diǎn)E向右運(yùn)動時，BE長度變小，為保持點(diǎn)B₁在邊AD上，則點(diǎn)F要向上運(yùn)動，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，sinθ取得最小值．
又當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，有25tanθ+25tanθcos2θ=24，
化簡得，sinθ•cosθ=

12

25

，結(jié)合sin²θ+cos²θ=1，0＜θ＜

π

4

，解之得sinθ=

3

5

．
所以sinθ∈[

3

5

，

2

2

]，從而，函數(shù)f（t）的定義域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">t∈[

3

5

，

2

2

]．

點(diǎn)評：在求實(shí)際問題對應(yīng)的函數(shù)的解析式，我們一定要進(jìn)一步分析自變量的取值范圍，這不僅是為了讓函數(shù)的解析式更準(zhǔn)確，而且為利用函數(shù)的解析式求函數(shù)的值域，最值、單調(diào)性、奇偶性等打好基礎(chǔ)．