Question

已知下表中的對數值有且只有兩個是錯誤的．

x	1.5	3	5	6	7	8	9	14	27
lgx	3a-b+c	2a-b	a+c	1+a-b-c	2（a+c）	3（1-a-c）	2（2a-b）	1-a+2b	3（2a-b）

（1）假設上表中lg3=2a-b與lg5=a+c都是正確的，試判斷lg6=1+a-b-c是否正確，給出判斷過程；
（2）求證lg3的對數值是正確的；
（3）試將兩個錯誤的對數值均指出來，并加以改正（不要求證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）由lg5=a+c，可推知lg2=1-a-c，lg6=lg2+lg3=1+a-b-c再判斷．
（2）用反證法，先假設lg3=2a-b是錯誤的，根據題意轉化為lg3≠2a-b，lg9=2lg3≠2（2a-b），lg27=3lg3≠3（2a-b），進而得知lg9，lg27也均是錯誤的得證．
（3）由（2）知lg3一定對，可知lg9，lg27都對．若lg5錯，則lg6，lg8均錯，得知lg5對，轉化為lg2=1-a-c，推知lg6，lg8均對的．
解答：解：（1）由lg5=a+c，得lg2=1-a-c∴lg6=lg2+lg3=1+a-b-c滿足表中數值，也就是lg6在假設下是正確的．（4分）
（2）假設lg3=2a-b是錯誤的，即lg3≠2a-b，∴lg9=2lg3≠2（2a-b），lg27=3lg3≠3（2a-b）
于是lg9，lg27也均是錯誤的，
這與“有且只有兩個是錯誤的”矛盾，故假設不成立，
∴lg3的對數值是正確的．（8分）
（3）lg1.5是錯誤的，正確值應為3a-b+c-1（12分）lg7是錯誤的，正確值應為2b+c（16分）
理由：由（2）知lg3一定對，則lg9，lg27都對．若lg5錯，則lg6，lg8均錯（不符），
所以lg5對的，可得lg2=1-a-c，即有lg6，lg8均對的．
∴lg1.5=lg3-lg2=3a-b+c-1，
∴表中lg1.5是錯的．又易知lg7是錯的，
∵2（a+c）=2lg5=lg25≠lg7，事實上lg7=lg14-lg2=2b+c
點評：本題主要考查數的關系和反證法的應用，要注意基本步驟，先否定結論，肯定假設，推出矛盾，肯定結論，否定假設．