Question

（2013•汕頭二模）已知函數(shù)f（x）=x²-ax，g（x）=lnx．
（1）若f（x）≥g（x）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x1∈(0，

1

2

)，證明：h(x1)-h(x2)＞

3

4

-ln2；
（3）設(shè)r(x)=f(x)+g(

1+ax

2

)對(duì)于任意的a∈（1，2），總存在x0∈[

1

2

，1]，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）≥g（x）恒成立，只需使x²-ax≥lnx，（x＞0）分離參數(shù)來解決，注意a≤F（x）即要a≤F（x）_min；a≥F（x）即要a≥F（x）_max；
（2）借助于極值點(diǎn)的范圍，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來處理；
（3）與（1）類似處理，注意分類討論．

解答：解：（1）由題意：f（x）≥g（x）?x²-ax≥lnx，（x＞0）
分離參數(shù)α可得：a≤x-

lnx

x

，（x＞0）…（1分）
設(shè)Φ(x)=x-

lnx

x

，則Φ′(x)=1+

lnx-1

x2

=

x2+lnx-1

x2

…（2分）
由于函數(shù)y=x²，y=lnx在區(qū)間（0，+∞）上都是增函數(shù)，所以
函數(shù)y=x²+lnx-1在區(qū)間（0，+∞）上也是增函數(shù)，顯然x=1時(shí)，該函數(shù)值為0
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，Φ^′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，Φ^′（x）＞0
所以函數(shù)Φ（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)
所以Φ（x）_min=Φ（1）=1，所以a≤Φ（x）_min=1即a∈（-∞，1）…（4分）
（2）由題意知道：h（x）=x²-ax+lnx．則h′(x)=2x-a+

1

x

=

2x2-ax+1

x

，(x＞0)
所以方程2x²-ax+1=0，（x＞0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且x1∈(0，

1

2

)，
又因?yàn)?span id="d7fdb7x" class="MathJye">x1x2=

1

2

，所以x2=

1

2x1

∈(1，+∞)，且axi=2xi2+1，(i=1，2)…（6分）
而h（x₁）-h（x₂）=(x12-ax1+lnx1)-(x22-ax2+lnx2)
=[x12-(2x12+1)+lnx1]-[x22-(2x22+1)+lnx2]
=x22-x12+ln

x1

x2

=x22-(

1

2x2

)2+ln

1 2x2

x2

═x22-

1

4x22

-ln2x22，（x₂＞1）
設(shè)μ(x)=x2-

1

4x2

-ln2x2，(x≥1)，則μ′(x)=

(2x2-1)2

2x3

≥0
所以μ(x)＞μ(1)=

3

4

-ln2，即h(x1)-h(x2)＞

3

4

-ln2…（8分）
（3）r(x)=f(x)+g(

1+ax

2

)=x2-ax+ln

1+ax

2

所以r′(x)=2x-a+

a

ax+1

=

2ax2-a2x+2x

ax+1

=

2ax(x- a2-2 2a )

ax+1

…（9分）
因?yàn)閍∈（1，2），所以

a2-2

2a

=

a

2

-

1

a

≤

2

2

-

1

2

=

1

2

所以當(dāng)x ∈(

1

2

，+∞)時(shí)，r（x）是增函數(shù)，所以當(dāng)x0∈[

1

2

，1]時(shí)，
r(x0)max=r(1)=1-a+ln

a+1

2

，a∈（1，2）…（10分）
所以，要滿足題意就需要滿足下面的條件：1-a+ln

a+1

2

＞k(1-a2)，
若令φ(a)=1-a+ln

a+1

2

-k(1-a2)，a∈（1，2），
即對(duì)任意a∈（1，2），φ(a)=1-a+ln

a+1

2

-k(1-a2)＞0恒成立
因?yàn)棣?SUP>′（a）=-1+

1

a+1

+2ka=

2ka

a+1

(a-

1

2k

+1)…（11分）
分類討論如下：
①若k=0，則φ′(a)=

-a

a+1

，所以φ（a）在（1，2）遞減，
此時(shí)φ（a）＜φ（1）=0不符合題意
②若k＜0，則φ′(a)=

2ka

a+1

(a-

1

2k

+1)，所以φ（a）在區(qū)間（1，2）遞減，
此時(shí)φ（a）＜φ（1）=0不符合題意．
③若k＞0，則φ′(a)=

2ka

a+1

(a-

1

2k

+1)，那么當(dāng)

1

2k

-1＞1時(shí)，假設(shè)t為2與

1

2k

-1中較小的一個(gè)數(shù)，即t={2，

1

2k

-1}，
則φ（a）在區(qū)間（1，min{2，

1

2k

-1}）上遞減，此時(shí)φ（a）＜φ（1）=0不符合題意．
綜上可得

k＞0 1 2k -1≤1

解得k≥

1

4

，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為[

1

4

，+∞)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于較難的題目，注意與不等式恒成立的有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題常用分離參數(shù)來解決．