Question

 

對(duì)于給定數(shù)列，如果存在實(shí)常數(shù)、,使得 對(duì)于任意都成立，我們稱數(shù)列是 “線性數(shù)列”．

（I）如果，，，那么數(shù)列、是否為“線性數(shù)列”？

若是，分別指出它們對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)、；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（II）若數(shù)列滿足，，為常數(shù)．

① 求數(shù)列前項(xiàng)的和；

② 是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是“線性數(shù)列”，如果存在，求出所有的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）因?yàn)?sub>則有_，

故數(shù)列是“線性數(shù)列”， 對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)、分別為_.

 因?yàn)?sub>，則有 ,         

故數(shù)列是“線性數(shù)列”， 對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)、分別為………4分

（II）（1）因?yàn)? 則有， ， 

故數(shù)列前項(xiàng)的和++++

 ……………8分

注：本題也可以先求出，然后求和.

（2）假設(shè)數(shù)列是“線性數(shù)列”， 則存在實(shí)常數(shù)

使得對(duì)于任意都成立，于是對(duì)于任意都成立，因此對(duì)于任意都成立，

而，

則有對(duì)于任意都成立，可以得到.

①當(dāng)時(shí)，，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.

②當(dāng) 時(shí)，，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.

因此當(dāng)且僅當(dāng)或，時(shí)，數(shù)列也是“線性數(shù)列”.

對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為, 或．    …………………………………13分