Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長(zhǎng)為2的正方形。
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長(zhǎng)的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P。證明：為定值。
（3）在（2）的條件下，試問(wèn)x軸上是否存異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

，定值為4，存在Q（0，0）滿足條件

（1） 
∴橢圓方程為  ………………4分
（2）

直線CM：
代入橢圓方程
得 ………………6分

  ………………8分
（定值）…………10分
（3）設(shè)存在
 ……11分
則由 ………12分
從而得m=0
∴存在Q（0，0）滿足條件 ………………14分