Question

已知函數(shù)f(x)=2cosxcos(x-

π

6

)-

3

sin2x+sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，若f（x）=1，求x的值．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式第一項(xiàng)的第二個因式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，去括號合并后，再根據(jù)二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）令化簡后的解析式等于1，得到sin（2x+

π

3

）的值，根據(jù)x的范圍，求出2x+

π

3

的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到此時(shí)x的值．

解答：解：f(x)=2cosxcos(x-

π

6

)-

3

sin2x+sinxcosx
=2cosx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）-

3

sin²x+sinxcosx
=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=

3

cos2x+sin2x
=2（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）
=2sin（2x+

π

3

），
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）∵f（x）=1，即2sin（2x+

π

3

）=1，
∴sin（2x+

π

3

）=

1

2

，
又x∈[0，π]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]，
∴2x+

π

3

=

5π

6

或2x+

π

3

=

13π

6

，
解得：x=

π

4

或

11

12

π．

點(diǎn)評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，把函數(shù)解析式利用三角函數(shù)的恒等變形為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．