Question

已知l₁，l₂，l₃是同一平面內三條不重合自上而下的平行直線．
（Ⅰ）如果l₁與l₂間的距離是1，l₂與l₃間的距離是1，可以把一個正三角形ABC的三頂點分別放在l₁，l₂，l₃上，求這個正三角形ABC的邊長；
（Ⅱ）如圖，如果l₁與l₂間的距離是1，l₂與l₃間的距離是2，能否把一個正三角形ABC的三頂點分別放在l₁，l₂，l₃上，如果能放，求BC和l₃夾角的正切值并求該正三角形邊長；如果不能，說明為什么？
（Ⅲ）如果邊長為2的正三角形ABC的三頂點分別在l₁，l₂，l₃上，設l₁與l₂的距離為d₁，l₂與l₃的距離為d₂，求d₁•d₂的范圍？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據A、C到直線l₂的距離相等，可得l₂ 過AC的中點M，l₂⊥AC，從而求得邊長AC=2AM 的值．
（Ⅱ）假設能放，設邊長為aBC與l₃的夾角為θ，不妨設0°＜θ≤60°，可得asinθ=2，asin（60°-θ）=1．
兩式相比化簡可得sinθ=

3

7

，由此求得邊長a的值，從而得出結論．
（Ⅲ）利用兩角和差的正弦、余弦公式化簡d₁•d₂ =4sin（60°-θ） sinθ 為 2sin（2θ+30°）-1，再根據正弦函數的定義域和值域求得d₁•d₂的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵A、C到直線l₂的距離相等，∴l₂ 過AC的中點M，∴l₂⊥AC，∴邊長AC=2AM=2．
（Ⅱ）假設能，設邊長為a，BC與l₃的夾角為θ，由對稱性，不妨設0°＜θ≤60°，
∴asinθ=2，asin（60°-θ）=1．
兩式相比得：sinθ=2sin（60°-θ），即 sinθ=

3

cosθ-sinθ，
∴2sinθ=

3

cosθ，∴tanθ=

3

2

，∴sinθ=

3

7

，故邊長a=

2

3 7

=

2 21

3

．綜上可得，能放．
（Ⅲ）d₁•d₂ =4sin（60°-θ）sinθ=4（

3

2

cosθ-

1

2

sinθ） sinθ
=2（

3

2

sin2θ-

1+cos2θ

2

）=2sin（2θ+30°）-1．
∵0°＜θ≤60°，∴30°＜2θ+30°≤150°，

1

2

＜2sin（2θ+30°）≤1，∴d₁•d₂ ∈（0，1]，
即d₁•d₂的范圍是 （0，1]．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應用，同角三角函數的基本關系，正弦函數的定義域和值域，