Question

 如圖，在五面體P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2， PB=，PD=。

（1）求證：BD⊥平面PAD；

（2）若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角P—BC—A的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，

得BD²=AD²+AB²-2AD·ABcos60° =4+16-2×2×4×=12。∴AB²=AD²+BD²，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，即AD⊥BD。

在△PDB中，PD=，PB=，BD=，

∴PB²=PD²+BD²，故得PD⊥BD。

又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD。

（2）∵BD⊥平面PAD，BD平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD。

作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，

∴∠PDE是PD與底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，

∴PE=PDsin60°=·=。

作EF⊥BC于F，連PF，則PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角。

又EF=BD=，∴在Rt△PEF中，

tan∠PFE===。

故二面角P—BC—A的大小為arctan。