Question

如圖，點F（a，0）（a＞0），點P在y軸上運動，點M在x軸上運動，點N為動點，且

PM

•

PF

=0，

PN

+

PM

=

0

．
（1）求點N的軌跡C；
（2）過點F（a，0）的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A、B兩點，設K（-a，0），

KA

與

KB

的夾角為θ，求證0＜θ＜

π

2

．

Answer 1

分析：（1）先設點N（x，y），然后可以得到向量

PM

、

PF

，進而根據

PN

+

PM

=

0

、

PM

•

PF

=0可得答案．
（2）先設出直線方程，然后和（1）中所求的軌跡方程聯立得到兩根之和與兩根之積，進而由

KA

•

KB

＞0得到答案．

解答：解：（1）設N（x，y）∵

PN

+

PM

=

0

∴M（-x，0），P（0，

y

2

）

PM

=（-X，-

y

2

），

PF

=（a，-

y

2

）
∵

PM

•

PF

=0∴

PM

•

PF

=-ax+

y2

4

=0
∴y²=4ax

（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴直線l：y=k（x-a）

KA

=（x₁+a，y₁）

KB

=（x₂+a，y₂）
聯立

y=k(x-a) y2=4ax

∴ky²-4ay-4ka²=0
∴y1+y2=

4a

k

，y₁y₂=-4a²，x₁x₂=a²，x1+x2=

2a(k2+2)

k2

∴

KA

•

KB

=（x₁+a）（x₂+a）+y₁y₂=x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²+y₁y₂
=2a²+

2a2(k2+2)

k2

-4a²=

2a2(k2+2)

k2

-2a²=2a2(1+

2

k2

-1)=

4a2

k2

＞0
∴cosθ＞0∵θ∈[0，π]∴θ∈（0，

π

2

）

點評：本題主要考查向量的數量積運算和圓錐曲線的有關問題．在解決圓錐曲線的有關問題時，一般都是聯立直線方程和圓錐曲線方程求出兩根之和與兩根之積，然后 根據題意解題．