Question

設直線l的方程為（a+1）x+y-2-a=0（x∈R）．
（1）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）若a＞-1，直線l與x軸、y軸分別交于M、N兩點，求△OMN的面積取得最小值時，直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出直線在兩坐標軸上的截距，由這兩個截距相等解出a值，從而得到直線l的方程．
（2）求出M、N兩點的坐標，化簡△OMN的面積表達式，使用基本不等式求出面積的最小值，并且求出面積最小時
的a值，從而得到直線l的方程．

解答：解：（1）直線l（a+1）x+y-2-a=0（x∈R）在橫軸上的截距為 

a+2

a+1

，在縱軸上的截距為 a+2，
∵直線l在兩坐標軸上的截距相等，∴

a+2

a+1

=a+2，∴a=-2 或 a=0．
當a=-2時，直線l的方程為 x-y=0，當a=0 時，直線l的方程為 x+y-2=0．
（2）由題意知 M（

a+2

a+1

，0），N（0，a+2），
△OMN的面積為

1

2

×

a+2

a+1

×（a+2）=

1

2

×（1+

1

a+1

）×[（a+1）+1]=

1

2

×[（a+1）+1+1+

1

a+1

]
=1+

1

2

[（a+1）+

1

a+1

]≥1+1=2 （當且僅當a=0時，等號成立），
∴△OMN的面積取得最小值時，直線l的方程為 x+y-2=0．

點評：本題考查求直線方程的方法，直線在兩坐標軸上的截距的定義以及基本不等式的應用（注意檢驗等號成立的條件）．