Question

【題目】如圖1，在多邊形中，四邊形為等腰梯形，，，，四邊形為直角梯形，，．以為折痕把等腰梯形折起，使得平面平面，如圖2所示．

（1）證明：平面．

（2）求直線與平面所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）取的中點，連接，可證明及，由線面垂直的判定定理證明平面．

（2）以為軸，其中軸，軸分別在平面平面中，且與垂直，垂足為建立空間直角坐際系．寫出各個點的坐標，并求得平面的法向量，即可由法向量法求得直線與平面所成角的正弦值，進而求得直線與平面所成角的正切值．

（1）證明：取的中點，連接，如下圖所示：

，，

由四邊形為菱形，可知，

在中，在，

所以．

又平面平面，平面平面，，，

所以，平面，

所以平面，平面，

所以，又因為，

所以平面．

（2）由平面平面，如圖取的中點為，以為原點，以為軸，其中軸，軸分別在平面平面中，且與垂直，垂足為建立空間直角坐際系．

因為，，，，，，．

設平面的法向量，則，即，

不妨令，得．

設直線與平面所成的角為，則，

所以．