Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）滿足：對任意實數x，都有f（x）≥x，且當x∈（1，3）時，有f(x)≤

1

8

(x+2)2成立．
（1）證明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2因為當x∈（1，3）時，有f（x）≤

1

8

(x+2)2成立，所以f（2）≤

1

8

(2+2)2=2．從而求得f（2）的值即可；
（2）由

f(2)=2  f(-2)=0

得出a，b，c的關系式，于是f（x）=ax²+

1

2

x+1-4a，結合f（x）≥x?ax²-

1

2

x+1-4a≥0．結合方程的思想求得a值即可得出f（x）的表達式．

解答：證明：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2．…（2分）
因為當x∈（1，3）時，有f（x）≤

1

8

(x+2)2成立，所以f（2）≤

1

8

(2+2)2=2．
所以f（2）=2．…（4分）
解：（2）由

f(2)=2  f(-2)=0

得

4a+2b+c=2 4a-2b+c=0

從而有b=

1

2

，c=1-4a．于是f（x）=ax²+

1

2

x+1-4a．…（7分）
f（x）≥x?ax²-

1

2

x+1-4a≥0．
若a=0，則-

1

2

x+1≥0不恒成立．
所以

a＞0                         (- 1 2 )2-4a(1-4a)≤0

即

a＞0            (4a- 1 2 )2≤0

解得a=

1

8

．…（11分）
當a=

1

8

時，f（x）=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

=

1

8

(x+2)2
滿足f（x）≤

1

8

(x+2)2(x∈(1，  3))．…（12分）
故f（x）=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

．…（14分）

點評：本題主要考查一元二次函數的性質，以及函數的圖象問題、函數與方程的綜合運用，這是一道思維性很強的題，有很多同學思考不到位．