Question

已知函數y=（m²+4m-5）x²+4（1-m）x+3對任意實數x，函數值恒大于零，則實數m的取值范圍是

{m|1≤m＜19}

．

Answer 1

分析：分類討論，考慮二次項的系數為0與不為0．①二次項的系數為0時，m=1滿足題意；②二次項的系數不為0時，m²+4m-5＞0，且△=16（m-1）²-12（m²+4m-5）＜0，解不等式即可得結論．

解答：解：由題意，①m²+4m-5=0時，m=-5或m=1
其中m=1時，不等式是3＞0，符合對任意實數x，函數值恒大于零
②當m²+4m-5＞0，且△=16（m-1）²-12（m²+4m-5）＜0時，對任意實數x，函數值恒大于零
 即

m＜1或m＞-5 1＜m＜19

，
  所以1＜m＜19
綜上，實數m的取值范圍是{m|1≤m＜19}
故答案為：{m|1≤m＜19}

點評：本題以函數為載體，考查恒成立問題，解題的關鍵是分類討論及利用二次函數的圖象性質求解．