Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，BC=CC₁，E、F分別為AB、AA₁的中點．
（1）求證：直線EF∥平面BC₁A₁；
（2）求證：EF⊥B₁C．

Answer 1

分析：（1）欲證直線EF∥平面BC₁A₁，只需證明EF平行平面BC₁A₁中的一條直線即可，由E、F分別為AB、AA₁的中點，可知
EF∥A₁B，EF∥A₁B?平面BC₁A₁，問題得證．
（2）欲證EF⊥B₁C，只需證明EF的平行線A₁B垂直于B₁C即可，也即證明B₁C垂直于A₁B所在的平面BA₁C₁，又須證明B₁C垂直于平面BA₁C₁中的兩條相交直線，由三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，以及∠ACB=90°，BC=CC₁，極易證明BC₁⊥B₁C，A₁C₁⊥B₁C，
而BC₁，A₁C₁為平面BA₁C₁中的兩條相交直線，問題得證．

解答：解：（1）∵E、F分別為AB、AA₁的中點，∴EF∥A₁B
∵EF?平面BC₁A₁，A₁B⊆平面BC₁A₁
∴EF∥平面BC₁A₁．
（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴AC⊥CC₁，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，∴AC⊥B₁C，
又∵A₁C₁∥AC，∴A₁C₁⊥B₁C，
∵BC=CC₁，BC⊥CC₁，∴BC₁⊥B₁C
∴B₁C⊥平面BA₁C₁，∴B₁C⊥A₁B
由（1）知，EF∥A₁B
∴EF⊥B₁C．

點評：本題主要考察了空間的線面平行，線線垂直的證明，充分考察了學生的邏輯推理能力，空間想象力，以及識圖能力．