Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直坐標系中，已知橢圓，經過點，其中e為橢圓的離心率．且橢圓與直線 有且只有一個交點。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設不經過原點的直線與橢圓相交與A，B兩點，第一象限內的點在橢圓上，直線平分線段，求：當的面積取得最大值時直線的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵橢圓經過點，∴又，

∴，∴  

∴橢圓的方程為…………………………………………2分

又∵橢圓與直線 有且只有一個交點

∴方程即有相等實根

∴    ∴ 

∴橢圓的方程為………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓的方程為 故

設不經過原點的直線的方程交橢圓于

由得    ……………………………6分

∴  ………………7分       

直線方程為且平分線段 

∴=解得 ……………………………………………8分

∴

又∵點到直線的距離 

∴…………………………………………9分

設    

由直線與橢圓相交于A，B兩點可得

求導可得，此時取得最大值

此時直線的方程……………………………………………12分

考點：本題主要考查橢圓標準方程，橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，直線方程，點到直線的距離。

點評：求橢圓的標準方程是解析幾何的基本問題，涉及直線與橢圓的位置關系問題，常常運用韋達定理，本題屬于中檔題。