Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓方程為（），拋物線方程為．過拋物線的焦點作軸的垂線，與拋物線在第一象限的交點為，拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點． 

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設為橢圓上的動點，由向軸作垂線，垂足為，且直線上一點滿足，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解：（1）拋物線的焦點為，過拋物線的焦點垂線于軸的直線為.

由得點的坐標為.　                    ………………2分

由得，

∴，故.                             ………………3分

∴拋物線在點的切線方程為，即.   …………4分

又由橢圓方程及知，右焦點的坐標為.      …………5分

∴，解得.                         ………………7分

∴橢圓方程為，拋物線方程為．　      ………………8分

（2）設點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為,且，.由已知知.                      ………………10分

將其代入橢圓方程得.　                      ………………11分

當，即時，點的軌跡方程為，其軌跡是以原點為圓心，半徑為的圓；　                               ………………12分

當，即時，點的軌跡方程為，其軌跡是焦點在軸上的橢圓；　                                     ………………13分

當，即時，點的軌跡方程為，其軌跡是焦點在 軸上的橢圓. 　                                       ………………14分