Question

已知函數(shù)f(x)=

x2-(a-1)x+3

x-a

（x≠a，a為非零的常數(shù)）
（1）解不等式f（x）＜x
（2）如果a=1，且x＞1，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）＜x，得

x2-(a-1)x+3

x-a

＜x，化為

x+3

x-a

＜0，得（x+3）（x-a）＜0．對(duì)a與-3的關(guān)系討論即可得出；
（2）如果a=1，則f(x)=

x2+3

x-1

當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)=

(x2-1)+4

x-1

=(x-1)+

4

x-1

+2利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）由f（x）＜x，得

x2-(a-1)x+3

x-a

＜x，
化為

x+3

x-a

＜0，得（x+3）（x-a）＜0．
（i）當(dāng)a＜-3時(shí)，原不等式的解集為（a，-3）
（ii）當(dāng)a=-3時(shí)，原不等式的解集為φ；
（iii）當(dāng)a＞-3時(shí)，原不等式的解集為（-3，a）．
（2）如果a=1，則f(x)=

x2+3

x-1

當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)=

(x2-1)+4

x-1

=(x-1)+

4

x-1

+2

∵x-1＞0，  4 x-1 ＞0 ∴f(x)≥2 (x-1)• 4 x-1 +2=6

當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

4

x-1

時(shí)，即x=3時(shí)取等號(hào)
故當(dāng)a=1且x＞1時(shí)，f（x）的取值范圍是[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式、一元二次不等式的解法、分類(lèi)討論思想方法、基本不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．