Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（其中為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）若，求直線與曲線的交點的直角坐標；

（2）若點在曲線上，且到直線距離的最大值為，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）和；（2）.

【解析】

（1）求出直線的普通方程，聯立直線與曲線的普通方程，即可求得直線與曲線的交點的直角坐標；

（2）求得圓的圓心到直線的距離為，將直線的方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式可求得的值，利用同角三角函數的基本關系求得的值，即為直線的斜率.

（1）當時，直線的參數方程為（為參數），

將直線的參數方程化為普通方程得，

曲線的極坐標方程可化為，由可得曲線的普通方程為，

聯立，解得或，

因此，直線與曲線的交點的直角坐標為和；

（2）由題意可知，直線是過點且傾斜角為的直線，點在圓上，

圓的標準方程為，圓心坐標為，半徑為，

設圓的圓心到直線的距離為，則點到直線的距離的最大值為，得，

在直線的參數方程中消去參數得，

由點到直線的距離公式得，則，

，，

因此，直線的斜率為.