Question

若直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點，則過點（m，n）的直線與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的公共點個數為（　　）

• A、至多一個
• B、0個
• C、1個
• D、2個

Answer 1

分析：先根據題意可知原點到直線mx+ny-4=0的距離大于等于 2求得m和n的范圍可推斷點P（m，n）是以原點為圓心，2為半徑的圓內的點，根據圓的方程和橢圓方程可知圓x²+y²=4內切于橢圓，進而可知點P是橢圓內的點，進而判斷可得答案．

解答：解：因為直線mx+ny=4和圓x²+y²=4沒有公共點，
所以原點到直線mx+ny-4=0的距離d=

4

m2+n2

＞2，
所以m²+n²＜4，
所以點P（m，n）是在以原點為圓心，2為半徑的圓內的點．
∵橢圓的長半軸 3，短半軸為 2
∴圓x²+y²=4內切于橢圓
∴點P是橢圓內的點
∴過點P（m，n）的一條直線與橢圓的公共點數為2．
故選D．

點評：本題主要考查了直線與圓、直線與圓錐曲線的關系，以及點到直線的距離公式，解決此類問題可采用數形結合的方法較為直觀．