Question

（2012•衡陽模擬）某廣場二雕塑造型結構如圖所示，最上層是呈水平狀態的圓環且圓心為O，其半徑為2m，通過金厲桿BC，CA₁，CA₂，…，CA_n支撐在地面B處（BC垂直于水平面）．A₁，A₂，A₃，…，A_n是圓環上的n等分點，圓環所在的水平面距地面1Om，設金屬桿CA₁，CA₂，…，CA_n所在直線與圓環所在水平面所成的角都為θ（圓環及金厲桿均不計粗細）
（1）當θ為60°且n=3時，求金厲桿BC，CA₁，CA₂，CA₃的總長？
（2）當θ變化，n一定時，為美觀與安全起見，要求金屬桿BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的總長最短，此時θ的正弦值是多少？并由此說明n越大，C點的位置將會上移還是下移．

Answer 1

分析：（1）先畫出圖形，然后分別求出金厲桿BC，CA₁，CA₂，CA₃的長，從而可求出所求；
（2）設金屬桿總長為ym，然后表示出y關于θ的函數，最后利用導數研究該函數的最值，即可求出所求．

解答：解：（1）當θ=60°且n=3時（如圖），CA₁=CA₂=CA₃=4，OC=2

3

所以BC+CA₁+CA₂+CA₃=12+10-2

3

=22-2

3

（m）
（2）∵金屬桿CA₁，CA₂，…，CA_n所在直線與圓環所在水平面所成的角都為θ
∴∠CA₁O=∠CA₂O=∠CA₃O=…=∠CA_nO=θ
CA₁=CA₂=CA₃=…=CA_n=

2

cosθ

，CO=2tanθ
設金屬桿總長為ym，則
y=

2n

cosθ

+10-2tanθ=

2(n-sinθ)

cosθ

+10（0＜θ＜

π

2

）
y′=

2(nsinθ-1)

cos2θ

，當0＜sinθ＜

1

n

時，y′＜0，當

1

n

＜sinθ＜1時，y′＞0
所以當sinθ=

1

n

時，函數有極小值，也是最小值；
此時sinθ=

1

n

，n越大，sinθ越小，因為θ是銳角，所以θ也越小，因此C點上移了．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的最值，以及實際問題中導數的意義，同時考查了運算求解的能力和計算能力，屬于中檔題．